内容简介本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计 划”的研究成果。全书分为基础篇和选学篇。与第一版相比，基础篇中 略去了一些“枝叶”以突出基础，选学篇中则添加有限单环和布尔代数以 尝试将非传统内容加入近世代数教科书中。基础篇部分强调群的背景——对称，介绍了抽象群、环、域的基本概 念、基本性质和基本内容，以及一些具体群（变换群、置换群、平面运动 群）、环（多项式环、函数环、剩余类环）和域（数域、有限域）及其和 抽象群、环、域的关联。选学篇部分除介绍近世代数课程的一些传统内 容，如有限交换群的结构定理、Galois理论外，还介绍了自由群、有限单 环的结构定理、布尔代数、计算代数几何初步——Grobner基等。本书可作为高等学校数学类专业的教科书，也可供相关专业师生和有 关科研人员参考。目 录第一部分基础篇第一章对称与群....................................................... 3§1.1平面图形的对称与群.........................................  31.1.1运动群......................................................31.1.2平面图形对称的数学定义....................................... 5§1.2多项式的对称与群.............................................. 6第二章群章群.............................................................. 9§2.1 群.............................................................. 92.1.1群的定义....................................................92.1.2群的同构和反同构..........................................  112.1.3 一个写法问题............................................... 13§2.2 子群............................................................152.2.1 一点准备................................................... 162.2.2子群的定义................................................. 172.2.3两类特殊子群............................................... 19§2.3生成元集，循环群............................................... 212.3.1生成元集...................................................212.3.2循环群.....................................................25§2.4子群（续）...................................................... 272.4.1平面运动群的有限子群........................................ 272.4.2 Sn 的子群...................................................29§2.5 商群................................ 312.5.1合同关系与合同划分..........................................312.5.2 商群...................................................... 332.5.3商群与正规子群............................................. 34§2.6 同态............................................................ 372.6.1 同态的定义................................................. 372.6.2同态与商群................................................. 39§2.7有限群........................................................ 422.7.1有限群中的数量关系.......................................  422.7.2交换群的子群存在问题.....................................  432.7.3 Sylow子群的存在问题.....................................  44§2.8 单群............................................................ 46§2.9群在集上的作用............................................... 502.9.1 G —集的定义............................................. 502.9.2 群的表示与G 一集.........................................  502.9.3 G —集的结构............................................. 522.9.4 G —集的应用............................................. 54第三章环与域........................................................59§3.1环与域........................................................ 593.1.1环的定义及基本性质........................................  593.1.2 子环...................................................... 633.1.3同态、理想、商环..........................................  64§3.2环的构造...................................................... 713.2.1模仿由》到Q............................................................................................ 713.2.2模仿由Q到1R............................................................................................ 743.2.3 模仿由IR到C.......................................................................................... 773.2.4由群作代数................................................. 79§3.3多项式环...................................................... 803.3.1 R上一元多项式函数环........................................ 813.3.2 R上一元多项式环........................................... 823.3.3两者之间的关系............................................. 833.3.4 R上多元多项式环.........................................  84§3.4交换环........................................................ 863.4.1整环的特征................................................. 863.4.2整环的商环................................................. 873.4.3素理想和极大理想........................................... 88§3.5整环的整除理论............................................... 903.5.1 出发点.....................................................903.5.2整除理论的基本概念..........................................923.5.3 唯一分解环、Euclid环、主理想整环...........................  933.5.4多项式环的整除理论.......................................... 98第四章多项式的分裂域.............................................. 104§4.1 域............................................................ 1044.1.1 扩域......................................................1044.1.2 有限扩域.................................................. 1064.1.3 代数扩域.................................................. 1064.1.4 一元多项式及其根的性质..................................... 107§4.2分裂域....................................................... 1094.2.1 单扩域....................................................1094.2.2 分裂域.................................................... 1114.2.3分裂域的存在性............................................ 1124.2.4分裂域的唯一性............................................ 113§4.3有限域（分裂域的一个应用）................................... 1154.3.1有限域的存在性............................................ 1154.3.2有限域的结构.............................................. 1174.3.3 例子..................................................... 118§4.4正规扩域（分裂域续）.......................................... 1214.4.1正规扩域的定义............................................ 1214.4.2正规扩域=分裂域......................................... 1214.4.3分裂域是单扩域............................................ 1234.4.4 分裂域的Galois群......................................... 124§4.5尺规作图不能问题............................................ 126第二部分选学篇第五章群论...........................................................135§5.1有限交换群的结构定理.........................................1355.1.1 一些准备.................................................. 1355.1.2分解成p —加群的直和....................................... 1365.1.3 p 一加群的再分解............................................ 1375.1.4 群的构造.................................................. 1395.1.5主要定理.................................................. 1405.1.6 例子..................................................... 141§5.2群的构造，自由群.............................................. 143第六章环论与模论................................................... 151§6.1环的表示与模..................................................1516.1.1 表示与模.................................................. 1516.1.2模的基本概念........................................  1546.1.3模论观点下的有限交换群结构定理............................ 156§6.2有限单环的结构定理.......................................... 1586.2.1定义及例子................................................ 1586.2.2模论方面的准备——单模对应的表示.......................... 1596.2.3单模给出的有限单环的表示................................... 1616.2.4主要定理.................................................. 161§6.3布尔代数..................................................... 1646.3.1布尔代数的背景............................................ 1646.3.2 布尔代数.................................................. 1666.3.3布尔函数与布尔多项式函数................................... 1676.3.4积和标准布尔多项式.........................................1686.3.5布尔函数与布尔多项式函数（续）.............................. 1696.3.6和积标准布尔多项式.........................................1706.3.7回到开关电路.............................................. 170§6.4 Zorn 引理..................................................... 171第七章域论.......................................................... 175175§7.1 Galois 基本定理..............................................175§7.2 一个例子..................................................... 183§7.3用根式解代数方程问题.........................................188§7.4有限域的一个应用——编码................................. 193第八章 多元多项式环（代数几何初步）................................. 202§8.1代数簇....................................................... 202§8.2 Hilbert 基定理................................................206§8.3代数簇的分解................................................. 210§8.4 Grobner 基................................................... 214§8.5 Buchberger 算法............................................. 220§8.6初等几何的机器证明.......................................... 226参考文献 ............................................................ 231符号表 ................................................... 232索引 ............................................

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